Las matemáticas de la calceta

 Dos físicos han desarrollado una teoría matemática para predecir las propiedades de los tejidos de punto.

¿Busca un nuevo pasatiempo? ¿Qué tal hacer calceta? La física del Instituto de Tecnología de Georgia Elisabetta Matsumoto no duda en recomendarlo. Es una apasionada del punto desde que era niña y posee numerosos libros con instrucciones para crear diversos patrones a partir de puntos simples, usando hilo de lana y dos agujas de tricotar.

Como buena científica, Matsumoto empezó a pensar un poco más en su afición y en el hecho de que pequeños cambios casi imperceptibles en el patrón de punto puedan influir tanto en el resultado final. Por ejemplo, si se usan puntos de un solo tipo, el tejido se enroscará en los bordes. En cambio, si combinamos dos tipos, la prenda resultante será totalmente lisa.

Y las propiedades mecánicas de un tejido también dependen en gran medida del patrón de punto: algunos son más elásticos, mientras que otros son más rígidos y apenas se pueden estirar. De hecho, las prendas de punto tienen una propiedad bastante inusual: son elásticas a pesar de estar hechas de un hilo que no es extensible.

El dragón de la felicidad

Hace unos años ocurrió algo que acabó de despertar el interés de Matsumoto: descubrió el «dragón de la felicidad» de Sharon Winsauer, una tela con un imponente dragón en el centro. Cautivada por ese patrón, la científica se puso manos a la obra y tejió la intrincada estructura. «Tengo libros con miles de patrones distintos», afirma, «pero nunca había visto ese dragón». En el dragón de la felicidad, los puntos no ocupan una sola celda del entramado, sino que se extienden por amplias áreas y parecen seguir una orientación horizontal en vez de vertical, algo que no es muy frecuente.

Entonces Matsumoto se propuso entender todos estos mecanismos. Decidió desarrollar una teoría que categorizase los distintos tipos de punto y caracterizase sus combinaciones: ¿Cómo de elástica es una prenda tejida usando este punto y aquel otro? Junto a su estudiante de doctorado Shashank G. Markande, recurrió a la teoría de nudos para estudiar de manera matemática el arte de tricotar.

Las labores de punto están hechas de lazadas de hilo que van trabándose para formar una malla. Hay dos puntos básicos (del derecho y del revés) que sirven para crear toda clase de patrones. Para saber cómo se comportan estos tejidos, hay que entender las propiedades de los distintos tipos de punto y el orden en que se suceden.

La ciencia de los nudos

Esa tarea entra dentro del ámbito de la teoría de nudos, una disciplina que estudia las matemáticas de los lazos. A diferencia de lo que llamamos «nudo» en nuestro día a día (por ejemplo, el que hacemos en los cordones de los zapatos), en matemáticas el término se refiere exclusivamente a una estructura cerrada, sin extremos libres. Eso hace que los patrones de punto carezcan de interés desde la óptica de la teoría de nudos, porque si tiramos de un hilo del patrón, aflojamos los lazos y se deshace el tejido.

Lista de nudos distintos desde el punto de vista topológico, ordenados según el número de cruces. [Wikipedia]

Así que Matsumoto y Markande usaron un truco: aprovechando que los tejidos de punto son doblemente periódicos (se repiten en las direcciones horizontal y vertical) impusieron condiciones de contorno periódicas, de manera que el extremo superior se fundía con el inferior y el extremo izquierdo con el derecho. Es como si tejiéramos una bufanda y en algún momento uniésemos sin costuras el comienzo con el final, y también los dos bordes laterales. La figura resultante es una rosquilla, o un «toro», usando el término matemático. Si recorremos el hilo de este toro, obtenemos un complicado nudo (con todas sus vueltas y bucles) en el sentido estrictamente matemático, porque no tiene ni principio ni fin.

Al contemplar los patrones de punto de esa manera, los dos físicos pudieron emplear métodos de la teoría de nudos para desvelar los secretos de las lazadas. Los matemáticos que trabajan en ese campo investigan, entre otras cosas, qué nudos son equivalentes y cuáles exhiben diferencias fundamentales. Aunque parezca sorprendente, eso no siempre es fácil. Imaginemos que alguien ha dibujado dos intrincados nudos en una hoja de papel. ¿Podemos saber a primera vista si son iguales? Si parecen diferentes, puede que solo sea porque se han representado desde un punto de vista distinto.

Aunque a primera vista parezcan diferentes, ambos diagramas representan el mismo nudo (o mejor dicho, el mismo no-nudo). [Wikipedia/]

Ese problema ha ocupado a los expertos en teoría de nudos durante siglos, y aún no lo han resuelto del todo. Para categorizar objetos complicados, los matemáticos suelen emplear «invariantes»: cantidades que se pueden calcular a partir de propiedades fundamentales de los objetos en cuestión, como el número de agujeros de una superficie. Los invariantes no cambian si modificamos ligeramente las figuras, por ejemplo, ampliándolas o reduciéndolas.

También es posible asignar todo tipo de invariantes a las representaciones bidimensionales de los nudos. Si los nudos son iguales, deben tener los mismos invariantes. Por desgracia, lo contrario no es cierto: que los invariantes coincidan no significa necesariamente que los nudos sean equivalentes.

El ordenador como herramienta

Sin embargo, hoy en día existen programas informáticos capaces de examinar y comparar los diagramas bidimensionales de los nudos para revelar sus propiedades. Por ello, Matsumoto y Markande querían encontrar un método sistemático para representar todos los posibles patrones de punto mediante una imagen en dos dimensiones que pudiera analizar un ordenador.

Y al final lo han logrado. En un trabajo presentado en la conferencia Bridges, que se celebró de manera virtual en agosto del año pasado, describen cómo usar una mezcla de semicírculos y líneas rectas sobre la geometría de un toro para representar cualquier posible patrón hecho a partir de distintos puntos. Sin embargo, advierten que no todos los patrones generados de este modo son factibles: es posible diseñar lazadas que no se pueden tejer con agujas e hilo.

Ahora, Matsumoto y sus colaboradores enseñan a un ordenador a hacer punto: le proporcionan las propiedades del hilo, los detalles matemáticos de los tipos de punto y el patrón deseado, y un algoritmo calcula las propiedades mecánicas del tejido resultante. Eso podría ayudar a confeccionar materiales para aplicaciones concretas... y quizás a desenredar algunos problemas de nuestro día a día.

Manon Bischoff

Referencia: «Knotty knits are tangles in tori», Shashank G. Markande y Elisabetta Matsumoto en Proceedings of Bridges 2020, págs. 103-112, julio de 2020.